Question

7．如圖，過點A（6，4）作曲線f（x）=$\sqrt{4x-8}$的切線l．
（1）求切線l的方程；
（2）求切線l、x軸及曲線f（x）=$\sqrt{4x-8}$所圍成的封閉圖形的面積S．

Answer 1

分析 （1）利用導數的幾何意義求出斜率，代入點斜式方程即可；
（2）根據定積分的幾何意義求出面積．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{4}{2\sqrt{4x-8}}$=$\frac{1}{\sqrt{x-2}}$，
∴切線l的斜率k=f′（6）=$\frac{1}{2}$，
∴切線l的方程為y-4=$\frac{1}{2}$（x-6），即x-2y+2=0．
（2）l令f（x）=0得x=2，
把y=0代入x-2y+2=0得x=-2，
∴封閉圖形的面積S=${∫}_{-2}^{6}$（$\frac{1}{2}$x+1）dx-${∫}_{2}^{6}$$\sqrt{4x-8}$dx=（$\frac{1}{4}$x²+x）${|}_{-2}^{6}$-$\frac{1}{6}$（4x-8）${\;}^{\frac{3}{2}}$${|}_{2}^{6}$=$\frac{16}{3}$．

點評 本題考查了導數的幾何意義，定積分的幾何意義，屬于中檔題．