Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的部分圖象如圖：
（1）求函數f（x）的解析式及單調遞增區間；
（2）將函數f（x）圖象向右平移

π

6

個單位長度得到函數m（x）的圖象，g（x）=2bcos²x（b＞0且b∈R），G（x）=m（x）+g（x），當x∈[0，

π

4

]時，求函數G（x）的值域．

Answer 1

考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數的解析式，再利用正弦函數的單調性求得f（x）的增區間．
（2）由條件根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，可得m（x）=

3

sin2x，g（x）=bcos2x+b，G（x）=

3+b2

sin（2x+θ）+b，θ∈（0，

π

2

），tanθ=

b

3

．再由x∈[0，

π

4

]，再利用正弦函數的定義域和值域求得G（x）的值域．

解答： 解：（1）由函數的圖象可得A=

3

，

T

2

=

π

ω

=

7π

12

-

π

12

，∴ω=2．
再根據五點法作圖可得2×

π

12

+φ=

π

2

，求得φ=

π

3

，∴f（x）=

3

sin（2x+

π

3

）．
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，故函數的增區間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈z．
（2）將函數f（x）圖象向右平移

π

6

個單位長度得到函數m（x）=

3

sin[2（x-

π

6

）+

π

3

]=

3

sin2x的圖象，
g（x）=2bcos²x=bcos2x+b，
G（x）=m（x）+g（x）=

3

sin2x+bcos2x+b=

3+b2

（

3

3+b2

sin2x+

b

3+b2

cos2x）+b=

3+b2

sin（2x+θ）+b，
θ∈（0，

π

2

），tanθ=

b

3

．
再由x∈[0，

π

4

]，可得2x+θ∈[θ，

π

2

+θ]，故當2x+θ=

π

2

時，G（x）取得最大值為

3+b2

+b，
當2x+θ=θ時，G（x）取得最大值為

3+b2

•

b

3+b2

+b=2b，
故函數G（x）的值域為[2b，

3+b2

+b]．

點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，正弦函數的單調性、定義域和值域，輔助角公式，屬于中檔題．