Question

【題目】已知點P是拋物線C:上任意一點，過點P作直線PH⊥x軸，點H為垂足.點M是直線PH上一點，且在拋物線的內部，直線l過點M交拋物線C于A、B兩點，且點M是線段AB的中點.

（1）證明：直線l平行于拋物線C在點P處切線；

（2）若|PM|=, 當點P在拋物線C上運動時，△PAB的面積如何變化？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）的面積為定值.

【解析】

（1）設點，則，易知，從而得，利用求導可以得切線斜率，從而得證；

（2）由，得，從而可得直線，與拋物線聯立得，再由，利用韋達定理求解即可.

（1）證明：設點，

則，，

由，得，

故，即拋物線在點處的切線的斜率為．

又直線的斜率，即，

所以直線平行于拋物線在點處的切線．

（2）解：由，得，

于是直線，即．

聯立直線與拋物線得消去y得，

∴，

∴，

故的面積為定值．