Question

9．如圖，已知正四棱錐P-ABCD中，AB=4，高$h=2\sqrt{2}$，點M是側棱PC的中點，則異面直線BM與AC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線BM與AC所成角的余弦值．

解答 解：如圖，以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，
B（0，2$\sqrt{2}$，0），A（2$\sqrt{2}$，0，0），C（-2$\sqrt{2}$，0，0），
P（0，0，2$\sqrt{2}$），M（-$\sqrt{2}$，0，$\sqrt{2}$），
$\overrightarrow{BM}$=（-$\sqrt{2}$，-2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（-4$\sqrt{2}$，0，0），
設異面直線BM與AC所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{BM}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{8}{\sqrt{12}•4\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴異面直線BM與AC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關系的合理運用．