Question

設I是函數y=f（x）的定義域，若存在x₀∈I，使f（x₀）=-x₀，則稱x₀是f（x）的一個“次不動點”，也稱f（x）在區間I上存在“次不動點”．若函數f（x）=ax³-3x²-x+1在R上存在三個“次不動點x₀”，則實數a的取值范圍是（　　）

• A、（-2，0）∪（0，2）
• B、（-2，2）
• C、（-1，0）∪（0，1）
• D、（-1，1）

Answer 1

考點：函數的值

專題：導數的綜合應用

分析：由已知ax03-3x02+1=0在R上有三個解，由函數y=ax³-3x²+1有三個零點，由y′=3ax²-6x，利用導數性質能求出a的范圍．

解答： 解：∵函數f（x）=ax³-3x²-x+1在R上存在三個“次不動點x₀”，
∴ax03-3x02-x0+1=-x0在R上有三個解，
即ax03-3x02+1=0在R上有三個解，
設y=ax³-3x²+1，
則y′=3ax²-6x，
由已知a≠0，令f′（x）=0，得x=0或x=

2

a

，
當a＞0時，x∈（-∞，0），f′（x）＞0；
x∈（

2

a

，+∞），f′（x）＞0；x∈（0，

2

a

），f′（x）＜0．
欲使f（x）有三個零點，需f（

2

a

）＜0，即a²＜4，由a＞0，解得0＜a＜2；
當a＜0時，x∈（-∞，

2

a

），f′（x）＜0；
x∈（

2

a

，0），f′（x）＞0；x∈（0，+∞），f′（x）＜0．
欲使f（x）有三個零點，需f（

2

a

）＜0，即a²＜4，由a＜0，解得-2＜a＜0．
∴0＜a＜2或-2＜a＜0．
故選：A．

點評：本題考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．