Question

已知向量

a

=(4，5cosα)，

b

=(3，-4tanα)
（1）若

a

∥

b

，試求sinα
（2）若

a

⊥

b

，且α∈(0，

π

2

)，求cos(2α-

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）通過向量的平行，利用坐標(biāo)運算，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求出sinα即可．
（2）通過向量的垂直，列出關(guān)系式，求出sinα，利用兩角和的余弦函數(shù)，以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求解所求表達式的值即可．

解答：解：（1）因為向量

a

=(4，5cosα)，

b

=(3，-4tanα)
由

a

∥

b

得，所以15cosα+16tanα=0，即15-15sin²α+16sinα=0，
解得：sinα=

5

3

（舍）或sinα=-

3

5

．
（2）由

a

⊥

b

得，12-20cosα•tanα=0，
∴sinα=

3

5

，
又α∈(0，

π

2

)，∴cosα=

4

5

，
sin2α=2sinαcosα=2×

3

5

×

4

5

=

24

25

，cos2α=2cos2α-1=

7

25

，
cos(2α-

π

4

)=cos2αcos

π

4

+sin2αsin

π

4

=

31

50

2

．

點評：本題考查向量的平行與垂直，坐標(biāo)運算，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，兩角和的余弦函數(shù)的應(yīng)用，考查計算能力．