Question

10．已知函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{x^2}-1，x∈[1，+∞）\\ \frac{1}{x}，x∈（0，1）\\-x-1，x∈（-∞，0]\end{array}\right.$
（1）求$f[f（\frac{3}{2}）]$的值
（2）請作出此函數的圖象
（3）若$f（x）=-\frac{1}{2}$，請求出此時自變量x的值．

Answer 1

分析 （1）利用代入法進行求解，
（2）結合分段函數的表達式進行作圖即可，
（3）根據分段函數的解析式解方程即可．

解答 解：（1）∵f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$）²-1=$\frac{1}{8}$，
∴$f[f（\frac{3}{2}）]$=f（$\frac{1}{8}$）=8．
（2）由分段函數的表達式得此函數的圖象為：

（3）若x≤0，由$f（x）=-\frac{1}{2}$得-x-1=-$\frac{1}{2}$得x=-$\frac{1}{2}$，
若0＜x＜1，由$f（x）=-\frac{1}{2}$得$\frac{1}{x}$=-$\frac{1}{2}$得x=-2成立．，
若x≥1由$f（x）=-\frac{1}{2}$得$\frac{1}{2}$x²-1=-$\frac{1}{2}$得x=1，
綜上x=1或x=-$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查分段函數的應用，根據分段函數的表達式是解決本題的關鍵．