Question

定義在（0，+∞）函數f（x）滿足：①當時x＞1，f（x）＜-2； ②對任意x，y∈（0，+∞），總有f（xy）=f（x）+f（y）+2．
（Ⅰ）求出f（1）的值；
（Ⅱ）解不等式f（x）+f（x-1）＞-4；
（Ⅲ）寫出一個滿足上述條件的具體函數（不必說明理由，只需寫出一個就可以）．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1）+2，從而解得；
（Ⅱ）令y=

1

x

，x＞1，則有f（1）=f（x）+f（y）+2，從而可推出f（y）＞-2，則f（x）+f（x-1）＞-4可化為即f（x（x-1））＞-2，從而解得；
（Ⅲ）f（x）=log

1

2

x-2．

解答： 解：（Ⅰ）令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1）+2；
則f（1）=-2；
（Ⅱ）令y=

1

x

，x＞1，則有f（1）=f（x）+f（y）+2，
則f（y）=-4-f（x），
又∵x＞1時，f（x）＜-2；
∴f（y）＞-2，
f（x）+f（x-1）＞-4可化為f（x（x-1））-2＞-4，
即f（x（x-1））＞-2，
故

x＞0 x-1＞0 0＜x(x-1)＜1

，
解得，1＜x＜

1+ 5

2

；
（Ⅲ）f（x）=log

1

2

x-2．

點評：本題考查了抽象函數的性質判斷與應用，屬于中檔題．