Question

20．某校從高二年級學生中隨機抽取60名學生，將其期中考試的政治成績（均為整數）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求分數在[70，80）內的頻率；
（Ⅱ）根據頻率分布直方圖，估計該校高二年級學生期中考試政治成績的平均分、眾數、中位數；（小數點后保留一位有效數字）
（Ⅲ）用分層抽樣的方法在各分數段的學生中抽取一個容量為20的樣本，則各分數段抽取的人數分別是多少？

Answer 1

分析 （1）利用頻率直方圖的矩形的總面積之和為1，求分數在[70，80）內的頻率為x．
（2）根據平均分、眾數、中位數的求法求解即可；
（3）根據分層抽樣的特點，按比例抽取即可．

解答 解：（1）設分數在[70，80）內的頻率為x，根據頻率分布直方圖，有：
（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，
可得x=0.3；
（2）估計該校高二年級學生政治成績的平均分為：
（45×0.01+55×0.015+65×0.015+75×0.03+85×0.025+95×0.005）×10=71，
根據頻率分布直方圖，估計這40名學生期中政治成績的眾數為75，
因為在頻率分布直方圖中
第一、二、三組的頻率之和為（0.010+0.015×2）×10=0.4，
所以中位數=70+$\frac{0.5-0.4}{0.3}$≈70.3；
（3）[40，50）內抽取的人數是：20×0.010×10=2人；
[50，60）內抽取的人數是：20×0.015×10=3人；
[60，70）內抽取的人數是：20×0.015×10=3人；
[70，80）內抽取的人數是：20×0.03×10=6人；
[80，90）內抽取的人數是：20×0.025×10=5人；
[9，100]取的人數是：20×0.00×10=1人，
各分數段抽取的人數分別是2人，3人，3人，6人，5人，1人．

點評 本小題主要考查頻率、頻數、統計和概率等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及運算求解能力