Question

5．已知向量$\overrightarrow m$=（2sinx，1），$\overrightarrow n$=（$\sqrt{3}$cosx，2cos²x），函數f（x）=$\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$-t．
（ I）若方程f（x）=0在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有解，求t的取值范圍；
（II）在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C所對的邊，當t=3且f（A）=-1，b+c=2時，求a的最小值．

Answer 1

分析 （I）由向量數量積的公式、三角恒等變換公式化簡解析式，代入方程f（x）=0化簡后，可得t=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有解，利用正弦函數的圖象與性質，求出t的取值范圍；
（II）由（I）求出f（A），結合A為三角形的內角求出A，根據余弦定理求出a²，結合b+c=2化簡后，利用二次函數的性質，求出邊a的最小值．

解答 解：（Ⅰ）由題意得，$\overrightarrow{m}$=（2sinx，1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$cosx，2cos²x），
∴f（x）=$\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$-t=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1-t
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1-t，
∵方程f（x）=0在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有解，
∴t=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有解，
由x∈[0，$\frac{π}{2}$]得，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
可得sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，t=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1∈[0，3]，
綜上，方程f（x）=0在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有解，t的取值范圍為[0，3]；
（Ⅱ）由（I）得，t=3時，f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）-2=-1，
化簡得，sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
又A∈（0，π），則A=$\frac{π}{3}$，
在△ABC中，由余弦定理得，
a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-2bccos$\frac{π}{3}$=b²+c²-bc，
由b+c=2得，c=2-b，
∴a²=b²+（2-b）²-b（2-b）=3b²-6b+4=3（b-1）²+1，
∴當b=1時，即b=c=1時，邊a的最小值為1．

點評 本題考查了向量的數量積公式，三角恒等變換公式，余弦定理，及正弦函數的圖象與性質和二次函數的性質，考查方程有解問題的轉化，化簡、變形能力．