Question

設f（x）=sin²x-2acosx+1，最大值記為g（a），求g（a）的表達式及值域．

Answer 1

考點：三角函數的最值,二次函數在閉區間上的最值

專題：三角函數的求值

分析：f（x）=sin²x-2acosx+1=-（cosx+a）²+a²+2，當a＞1時，cosx=-1，函數f（x）取得最大值2a+1．當a＜-1時，cosx=1，函數f（x）取得最大值-2a+1．
當-1≤a≤1時，cosx=-a，函數f（x）取得最大值a²+2．即可得出g（a）=

2a+1，a＞1 a2+2，-1≤a≤1 -2a+1，a＜-1

，再利用一次函數與二次函數的單調性即可得出值域．

解答： 解：f（x）=sin²x-2acosx+1
=-cos²x-2acosx+2
=-（cosx+a）²+a²+2，
當a＞1時，cosx=-1，函數f（x）取得最大值2a+1．
當a＜-1時，cosx=1，函數f（x）取得最大值-2a+1．
當-1≤a≤1時，cosx=-a，函數f（x）取得最大值a²+2．
∴g（a）=

2a+1，a＞1 a2+2，-1≤a≤1 -2a+1，a＜-1

，
當a＞1時，g（a）＞3；
當-1≤a≤1時，2≤g（a）≤3；
當a＜-1時，g（a）＞3．
綜上可得：g（a）的值域為[2，+∞）．

點評：本題考查了一次函數與二次函數的單調性、余弦函數的單調性、分段函數的性質，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．