Question

4．已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=1，點(diǎn)A（-m，0），B（m，0），若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB=90°，則正數(shù)m的最小值與最大值的和為（　　）

• A． 11
• B． 10
• C． 9
• D． 8

Answer 1

分析 C：（x-3）²+（y-4）²=1的圓心C（3，4），半徑r=1，設(shè)P（a，b）在圓C上，則$\overrightarrow{AP}$=（a+m，b），$\overrightarrow{BP}$=（a-m，b），由已知得m²=a²+b²=|OP|²，m的最大（小）值即為|OP|的最大（小）值，可得結(jié)論．

解答 解：圓C：（x-3）²+（y-4）²=1的圓心C（3，4），半徑r=1，
設(shè)P（a，b）在圓C上，則$\overrightarrow{AP}$=（a+m，b），$\overrightarrow{BP}$=（a-m，b），
∵∠APB=90°，∴$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BP}$，
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}$=（a+m）（a-m）+b²=0，
∴m²=a²+b²=|OP|²，
∴m的最大值即為|OP|的最大值，等于|OC|+r=5+1=6．
最小值即為|OP|的最小值，等于|OC|-r=5-1=4，
∴正數(shù)m的最小值與最大值的和為10．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的最大、小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．