Question

12．如圖所示，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都相等，AA₁⊥平面ABC，D是A₁C₁的中點，則直線AD與平面B₁DC所成的角θ的正弦值為$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 建立如圖所求的空間直角坐標系，O-xyz，x軸⊥AB，利用向量法能求出直線AD與平面B₁DC所成的角θ的正弦值．

解答 解：設三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱長為2，
建立如圖所求的空間直角坐標系，x軸⊥AB，
則C（0，0，0），A（$\sqrt{3}，-1，0$），B₁（$\sqrt{3}，1，2$），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，2），
$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}，2$），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（$\sqrt{3}，1，2$），$\overrightarrow{DA}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}，-2$），
設平面B₁DC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=\sqrt{3}x+y+2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}，1，1$），
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{DA}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{5}$，
∴直線AD與平面B₁DC所成的角θ的正弦值為$\frac{4}{5}$．
故答案為：$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．