Question

1．已知A（3，1），B（-4，0），P是橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$上的一點，則PA+PB的最大值為$10+\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，可知B為橢圓的左焦點，A在橢圓內部，設橢圓右焦點為F，借助于橢圓定義，把|PA|+|PB|的最大值轉化為橢圓上的點到A的距離與F距離差的最大值求解．

解答 解：由橢圓方程，得a²=25，b²=9，則c²=16，
∴B（-4，0）是橢圓的左焦點，A（3，1）在橢圓內部，
如圖：設橢圓右焦點為F，由題意定義可得：|PB|+|PF|=2a=10，
則|PB|=10-|PF|，
∴|PA|+|PB|=10+（|PA|-|PF|）．
連接AF并延長，交橢圓與P，則此時|PA|-|PF|有最大值為|AF|=$\sqrt{2}$
∴|PA|+|PB|的最大值為10+$\sqrt{2}$．
故答案為：10+$\sqrt{2}$

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了數形結合的解題思想方法和數學轉化思想方法，是中檔題．