Question

求函數f(x)=log

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(-x2-2x)的定義域、值域及單調區間．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數的定義域及其求法,函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：函數f(x)=log

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(-x2-2x)有意義，則必須-x²-2x＞0，解得即可得到函數的定義域；變形-x²-2x=-（x+1）2+1令u（x）=-（x+1）²+1，利用二次函數和復合函數的單調性即可得出單調區間；利用單調性即可得出函數的值域．

解答： 解：①要使函數f(x)=log

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(-x2-2x)有意義，
則必須-x²-2x＞0，化為x²+2x＜0，
解得-2＜x＜0．
∴此函數的定義域為（-2，0）．
②函數f(x)=log

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(-x2-2x)=log 

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[-（x+1）2+1]，
令u（x）=-（x+1）²+1，
當x∈（-2，-1]時，函數u（x）單調遞增，此時函數y=log 

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（-x²-2x）單調遞減；
當x∈（-1，0）時，函數u（x）單調遞減，此時函數y=log 

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（-x²-2x）單調遞增．
∴函數y=log 

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（-x²-2x）單調遞減區間是（-2，-1]，單調遞增區間是[-1，0）．
③由②可知：當x=-1時，函數y=log 

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（-x²-2x）取得最小值，為log 

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（-1+2）=0．
∴函數f(x)=log

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(-x2-2x)的值域為[0，+∞）．

點評：本題考查了對數函數、復合函數的定義域、單調區間及其值域，屬于中檔題．