Question

10．函數f（x）的圖象如圖所示，曲線BCD為拋物線的一部分．
（Ⅰ）求f（x）解析式； 
（Ⅱ）若f（x）=1，求x的值；
（Ⅲ）若f（x）＞f（2-x），求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）當-1≤x≤0時圖形為直線，根據兩點坐標可求出解析式；當0＜x≤3時，函數圖象為拋物線，設函數解析式為y=a（x-1）（x-3），帶入坐標點可求出拋物線方程；
（II）函數f（x）圖形與直線y=1的交點橫坐標即為所求x的值；
（III）結合函數圖形，利用函數的單調性來求解x的取值范圍；

解答 解：（ I）當-1≤x≤0時，函數圖象為直線且過點（-1，0）（0，3），直線斜率為k=3，
所以y=3x+3；
當0＜x≤3時，函數圖象為拋物線，設函數解析式為y=a（x-1）（x-3），
當x=0時，y=3a=3，解得a=1，所以y=（x-1）（x-3）=x²-4x+3，
所以$y=\left\{{\begin{array}{l}{3x+3，-1≤x≤0}\\{{x^2}-4x+3，0＜x≤3}\end{array}}\right.$．
（ II）當x∈[-1，0]，令3x+3=1，解得$x=-\frac{2}{3}$；
當x∈（0，3]，令x²-4x+3=1，解得$x=\frac{{4±\sqrt{16-8}}}{2}=2±\sqrt{2}$，
因為0＜x≤3，所以$x=2-\sqrt{2}$，
所以$x=-\frac{2}{3}$或$x=2-\sqrt{2}$；
（ III）當x=-1或x=3時，f（x）=f（2-x）=0，
當-1＜x＜0時，2＜2-x＜3，由圖象可知f（x）＞0，f（2-x）＜0，
所以f（x）＞f（2-x）恒成立；
當0≤x≤2時，0≤2-x≤2，f（x）在[0，2]上單調遞減，
所以當x＜2-x，即x＜1時f（x）＞f（2-x），所以0≤x＜1；
當2＜x＜3時，-1＜2-x＜0，此時f（x）＜0，f（2-x）＞0不合題意；
所以x的取值范圍為-1＜x＜1

點評 本題主要考查了函數圖形，分段函數解析式求法以及函數圖形的基本性質，屬基礎題．