Question

設函數f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜

π

2

）滿足f（x+2φ）=f（2φ-x），且對任意a∈R，在區間（a，a+2π]上f（x）有且只有一個最小值，則f（x）的單調遞減區間為

 

．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數的圖像與性質

分析：依題意，可知f（x）=cos（ωx+φ）的周期為T=

2π

ω

=2π，可求得ω=1，再由f（x+2φ）=f（2φ-x）知f（x）=cos（x+φ）的圖象關于x=2φ對稱，繼而可確定φ的值，利用余弦函數的單調性質即可求得答案．

解答： 解：∵對任意a∈R，在區間（a，a+2π]上f（x）有且只有一個最小值，
∴f（x）=cos（ωx+φ）的周期為T=

2π

ω

=2π，
∴ω=1；
又f（x+2φ）=f（2φ-x），
∴f（x）=cos（x+φ）的圖象關于x=2φ對稱，
∴2φ+φ=kπ（k∈Z），
∴φ=

kπ

3

（k∈Z），又0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

3

．
∴f（x）=cos（x+

π

3

）
由2kπ≤x+

π

3

≤2kπ+π（k∈Z），得：2kπ-

π

3

≤x≤2kπ+

2π

3

（k∈Z），
∴f（x）的單調遞減區間為[2kπ-

π

3

，2kπ+

2π

3

]（k∈Z）．
故答案為：[2kπ-

π

3

，2kπ+

2π

3

]（k∈Z）．

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，確定φ的值是關鍵，也是難點，屬于中檔題．