Question

4．已知正實數x，y滿足$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1$，若x+2y＞m²+2m恒成立，則實數m的取值范圍是（　　）

• A． （-2，4）
• B． （-4，2）
• C． （-∞，2]∪[4，+∞）
• D． （-∞，-4]∪[2，+∞）

Answer 1

分析 若x+2y＞m²+2m恒成立，只需求解x+2y的最小值即可．利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出．

解答 解：由題意：正實數x，y，$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1$，
那么：x+2y=（x+2y）（$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$）=4+$\frac{4y}{x}+\frac{x}{y}$≥4$+2\sqrt{\frac{4y}{x}\frac{x}{y}}$=8．，當且僅當x=y=$\frac{1}{3}$時取等號．
∴x+2y的最小值是8．
可得：8＞m²+2m，
解得：-4＜m＜2．
故選：B．

點評 本題考查了恒成立問題的轉化為求解不等式．本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質，屬于基礎題．