Question

5．設點O為原點，點A，B的坐標分別為（a，0），（0，a），其中a是正的常數，點P在線段AB上，且$\overrightarrow{AP}$=t$\overrightarrow{AB}$（0≤t≤1），則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$的最大值為a²．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，把$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$轉化為含有t的函數求解．

解答 解：如圖，
由題意可得：|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=a，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，
∵$\overrightarrow{AP}$=t$\overrightarrow{AB}$（0≤t≤1），
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}$）=$\overrightarrow{OA}•$（$\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AB}$）
=$\overrightarrow{OA}•$（$\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}-t\overrightarrow{OA}$）=（1-t）${\overrightarrow{OA}}^{2}$+t$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$
=（1-t）a²，（0≤t≤1）．
∴當t=0時，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$的最大值為a²．
故答案為：a²．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查函數最值的求法，是中檔題．