Question

已知函數f（x）=2sin⁴x+2cos⁴x+cos²2x-3．
（Ⅰ）求f(

π

16

)的值；
（Ⅱ）求函數f（x）在閉區(qū)間[

π

16

，

3π

16

]上的最小值并求當取最小值時x的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（I）化簡可得f（x）=cos4x-1，代入即可求值；
（II）由x∈[

π

16

，

3π

16

]，可得4x∈[

π

4

，

3π

4

]，從而有-

2

2

-1≤f（x）≤

2

2

-1即可求得函數f（x）在閉區(qū)間上的最小值并當取最小值時x的值．

解答： （本小題滿分12分）
解：f（x）=2sin⁴x+2cos⁴x+cos²2x-3=

(1-cos2x)2

2

+

(1+cos2x)2

2

+cos²2x-3=2cos²2x-2=cos4x-1，…（4分）
（I）f(

π

16

)=cos（4×

π

16

）-1=

2

2

-1；                 …（6分）
（II）∵x∈[

π

16

，

3π

16

]，4x∈[

π

4

，

3π

4

]，
∴-

2

2

-1≤f（x）≤

2

2

-1
∴f(x)min=-

2 +2

2

，此時x=

3π

16

．…（12分）

點評：本題主要考察了三角函數中的恒等變換應用，三角函數的圖象和性質，屬于基本知識的考查．