Question

19．已知O為平面直角坐標系的原點，F₂為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點，過雙曲線左頂點A，做兩漸近線的平行線分別與y軸交于C、D兩點，B為雙曲線的右頂點，若以O為圓心，|OF₂|為直徑的圓是四邊形ACBD的內切圓，則裝曲線的離心率為，（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 先根據雙曲線的幾何性質可推斷出直線AD的方程，進而利用直線AD與四邊形ACBD的內切圓相切，結合點到直線的距離公式得到a，b關系，最后求得a和c的關系式，即雙曲線的離心率．

解答 解：由題意得：A（-a，0），漸近線方程為y=±$\frac{b}{a}$x，
直線AD的方程為：y=$\frac{b}{a}$（x+a），
即：bx-ay+ab=0，
因為直線AD與四邊形ACBD的內切圓相切，
設內切圓的半徑為r，
故r=d，即$\frac{c}{2}$=$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$?a=b，
∴雙曲線的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$=$\sqrt{2}$．
故選：B．

點評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質．涉及求雙曲線的離心率問題，解題的關鍵是找到a，b和c的關系，考查運算能力，屬于中檔題．