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在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別為棱D1C1、B1C1的中點,求平面EFC與底面ABCD所成銳二面角的正切值.
考點:二面角的平面角及求法
專題:空間角
分析:以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出平面EFC與底面ABCD所成銳二面角的正切值.
解答: 解:如圖,以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,
建立空間直角坐標系.
設該正方體的棱長為4,則C(0,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),
CE
=(0,-2,4)
CF
=(2,0,4)

設平面CEF的法向量是
n
=(x,y,z),
n
CE
=-2y+4z=0
n
CF
=2x+4z=0

取z=1,得
n
=(2,-2,-1),
顯然,平面ABCD的法向量為
DD1
=(0,0,4),
設這兩個法向量的成角為θ,
cosθ=|cos<
n
DD1
>|=|
-4
3×4
|=
1
3

∴sinθ=
1-
1
9
=
2
2
3
,tanθ=
sinθ
cosθ
=2
2

∴所求兩平面所組成的銳二面角的正切值為2
2
點評:本題考查二面角的正切值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.
練習冊系列答案
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角α的終邊上的點P到x軸的距離與到y軸的距離之比是
1
2
,求3sinα-cosα的值.

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2
,則二面角C-BM-A的大小為
 

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.
z

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3
,且AA1⊥A1C,AA1=A1C.
(1)求側棱A1A與底面ABC所成角的大小;
(2)求側面A1ABB1與底面ABC所成二面角的大小.

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3
的正方形,平面ACC1⊥ABCD,BC1=CC1,直線DB與平面BCC1B1成30°角,
(1)求證:平面BC1D⊥平面ABCD;
(2)求四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積.

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π
3
)=
b+c
2a

(Ⅰ)求A
(Ⅱ)若a=2.S△ABC=
3
,求b+c的值.

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(I)當a=
1
e
時,求函數f(x)的單調區間及極值;
(Ⅱ)當2≤a≤e+2時,求證f(x)≤2x.

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