Question

從點A（-6，-4）處發出一條光線，與直線y=x+1相遇于點B后反射，反射光線恰與圓x²+y²=5相切，求線段AB的長．

Answer 1

分析：先求出點A（-6，-4）關于直線y=x+1對稱的點為A'的坐標，用點斜式求得直線A'B的方程，再根據圓心到直線A'B的距離等于半徑，求出直線A'B的斜率，可得直線A'B的方程．把直線A'B的方程和直線y=x+1聯立方程組求得B的坐標，即可求得AB的長度．

解答：解：設點A（-6，-4）關于直線y=x+1對稱的點為A'（x₀，y₀），
則

y0-(-4) x0-(-6) =-1 y0+(-4) 2 = x0+(-6) 2 +1

，解得

x0=-5 y0=-5

．
據物理學知識可知反射光線的反向延長線必過A'（-5，-5），…（4分）
所以，可設直線A'B的方程為：y+5=k（x+5）…（5分）
則圓心到直線A'B的距離d=

|5k-5|

k2+1

=

5

，…（7分）
解得k=2，或k=

1

2

（根據題意要舍去）． …（8分）
聯立直線方程

y+5=2(x+5) y=x+1

，解得

x=-4 y=-3

，即B的坐標為（-4，-3），…（9分）
∴|AB|=

(-6-(-4))2+(-4-(-3))2

=

5

．…（10分）

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，求一個點關于直線的對稱點的坐標的方法，屬于中檔題．