【題目】橢圓
： 
的離心率為
，短軸端點與兩焦點圍成的三角形面積為
.
(1)求橢圓的方程；
(2)設直線
與橢圓交于
兩點，且過點
，
為坐標原點，當△
為直角三角形，求直線的斜率.
【答案】(1)
；(2)
和
.
【解析】
(1)利用題中所給面積及離心率列出方程組求解a,b,c，即可求得橢圓的標準方程；(2)根據(jù)題意設出直線方程并與橢圓方程聯(lián)立，得到關于x的二次方程，由韋達定理表示出
,①當
為直角時，由
列出方程即可求得k；②當
或
為直角時，不妨設為直角，由
及
列出方程組求點A的坐標，從而求出直線的斜率k.
(1)根據(jù)題意可得
，
所以橢圓方程為；
(2)根據(jù)題意，過點
滿足題意得直線斜率存在，設
，
聯(lián)立
，消去y得：
，
，令
，解得
，
，
設A、B兩點的坐標分別為
，
①當為直角時，，即
，
所以
，
則
，解得
；
②當或為直角時，不妨設為直角，
此時，，則
，
①，
又②，將①代入②可得
，
解得
或
(舍去)，
將代入①，得
，所以
，
經(jīng)檢驗，所求k值均與題意相符，綜上，k的值為和.
陽光課堂同步練習系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】為了進一步推動全市學習型黨組織、學習型社會建設，某市組織開展“學習強國”知識測試，每人測試文化、經(jīng)濟兩個項目，每個項目滿分均為60分.從全體測試人員中隨機抽取了100人，分別統(tǒng)計他們文化、經(jīng)濟兩個項目的測試成績，得到文化項目測試成績的頻數(shù)分布表和經(jīng)濟項目測試成績的頻率分布直方圖如下：
經(jīng)濟項目測試成績頻率分布直方圖
分數(shù)區(qū)間 | 頻數(shù) |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 15 |
| 40 |
| 35 |
文化項目測試成績頻數(shù)分布表
將測試人員的成績劃分為三個等級如下：分數(shù)在區(qū)間
內為一般，分數(shù)在區(qū)間
內為良好，分數(shù)在區(qū)間
內為優(yōu)秀.
（1）在抽取的100人中，經(jīng)濟項目等級為優(yōu)秀的測試人員中女生有14人，經(jīng)濟項目等級為一般或良好的測試人員中女生有34人.填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有
以上的把握認為“經(jīng)濟項目等級為優(yōu)秀”與性別有關？
優(yōu)秀 | 一般或良好 | 合計 | |
男生數(shù) | |||
女生數(shù) | |||
合計 |
（2）用這100人的樣本估計總體.
（i）求該市文化項目測試成績中位數(shù)的估計值.
（ii）對該市文化項目、經(jīng)濟項目的學習成績進行評價.
附：
| 0.150 | 0.050 | 0.010 |
| 2.072 | 3.841 | 6.635 |
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，某海面上有
、
、
三個小島（面積大小忽略不計），島在島的北偏東
方向距島
千米處，島在島的正東方向距島20千米處.以為坐標原點，的正東方向為
軸的正方向，1千米為單位長度，建立平面直角坐標系.圓
經(jīng)過、、三點.
（1）求圓的方程；
（2）若圓區(qū)域內有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在島的南偏西30°方向距島40千米處，正沿著北偏東行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險？
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】設函數(shù)
.
（1）討論
的單調性；
（2）若有兩個極值點
和
，記過點
，
的直線的斜率為k，問：是否存在m，使得
？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某品牌服裝店為了慶祝開業(yè)兩周年，特舉辦“你敢買，我就送”的回饋活動，規(guī)定店慶當日進店購買指定服裝的消費者可參加游戲，贏取獎金，游戲分為以下兩種：
游戲 1：參加該游戲贏取獎金的成功率為
，成功后可獲得
元獎金；
游戲 2：參加該游戲贏取獎金的成功率為
，成功后可得
元獎金；
無論參與哪種游戲，未成功均沒有收獲，每人有且僅有一次機會，且每次游戲成功與否均互不影響，游戲結束后可到收銀臺領取獎金。
（Ⅰ）已知甲參加游戲 1，乙參加游戲 2，記甲與乙獲得的總獎金為
，若
，求
的值；
（Ⅱ）若甲、乙、丙三人都選擇游戲 1或都選擇游戲 2，問：他們選擇何種規(guī)則，累計得到獎金的數(shù)學期望值最大？
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】教材曾有介紹：圓
上的點
處的切線方程為
。我們將其結論推廣：橢圓
上的點處的切線方程為
，在解本題時可以直接應用。已知，直線
與橢圓
有且只有一個公共點.
（1）求
的值；
（2）設
為坐標原點，過橢圓
上的兩點
、
分別作該橢圓的兩條切線
、
，且與交于點
。當
變化時，求
面積的最大值；
（3）在（2）的條件下，經(jīng)過點作直線
與該橢圓交于
、
兩點，在線段
上存在點
，使
成立，試問：點是否在直線
上，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】橢圓
的左、右焦點分別為
，離心率為
，過焦點
且垂直于
軸的直線被橢圓
截得的線段長為
．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）點
為橢圓上一動點，連接
、
，設
的角平分線
交橢圓的長軸于點
，求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，平面上定點
到定直線
的距離
，
為該平面上的動點，過作直線的垂線，垂足為
，且
；
（1）試建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担髣狱c的軌跡
的方程；
（2）過點的直線交軌跡于
、
兩點，交直線于點
，已知
，
，求證：
為定值.
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