Question

【題目】已知橢圓過點(diǎn)離心率為.

（1）求的方程；

（2）如圖，若菱形內(nèi)接于橢圓，求菱形面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）4

【解析】

（1）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程中，再根據(jù)離心率，建立方程組，求解方程組即可；

（2）當(dāng)與軸或軸重合時(shí)，利用菱形面積計(jì)算求解即可；

當(dāng)直線存在斜率且不為零時(shí)，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出弦長，最后利用菱形的面積公式求出表達(dá)式，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可，最后求出菱形面積最小值.

解：（1）由題意得又

解得，.

所以的方程為

（2）①當(dāng)與軸或軸重合時(shí)，可求菱形的面積為；

②當(dāng)為時(shí)，為，由

得，

所以由弦長公式得，

同理可得

所以菱形的面積為

∵

∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

∵∴菱形面積的最小值為4. （說明：本題也可三角換元法或求導(dǎo)法求最小值）