Question

【題目】長方體中，F是AB的中點(diǎn)，直線平面，.

（Ⅰ）求長方體的體積；

（Ⅱ）求二面角的余弦值的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）16；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）先證，再分別求出和的長度，根據(jù)體積公式計(jì)算即可；

（Ⅱ）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA，DC，分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計(jì)算二面角的余弦值即可.

（1）連接BD，由平面，得，

又，所以平面，所以，

在矩形ABCD中，，，

∴，∴，∴，

同理，則四邊形為正方形，則，

∴長方體體積；

（Ⅱ）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA，DC，分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則，，，，，，

連接AC，在矩形ABCD中，易得，又，所以平面，

則平面的法向量可取為，

而平面的法向量可取，

設(shè)二面角的大小為，則，

所以二面角的余弦值的大小為.