Question

3．已知sinθ-cosθ=$\frac{1}{2}$，求下列各式的值：
（1）sinθcosθ；
（2）sin³θ-cos³θ；
（3）sin⁴θ+cos⁴θ．

Answer 1

分析 （1）將已知等式兩邊平方，利用同角三角函數基本關系式即可得解．
（2）利用同角三角函數基本關系式及立方差公式即可得解．
（3）把sin⁴θ+cos⁴θ轉化為含有sinθ•cosθ的代數式得答案；

解答 解：（1）∵sinθ-cosθ=$\frac{1}{2}$，
∴兩邊平方可得：1-2sinθcosθ=$\frac{1}{4}$，解得：sinθcosθ=$\frac{3}{8}$．
（2）sin³θ-cos³θ=（sinθ-cosθ）（sin²θ+sinθcosθ+cos²θ）=$\frac{1}{2}$×（1+$\frac{3}{8}$）=$\frac{11}{16}$．
（3）sin⁴θ+cos⁴θ=（sin²θ+cos²θ）²-2sin²θcos²θ=1-2×（$\frac{3}{8}$）²=$\frac{23}{32}$．

點評 此題考查了同角三角函數基本關系的運用，考查了計算能力和轉化思想，熟練掌握基本關系是解本題的關鍵，屬于基礎題．