Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)恒過定點A（1，2），則橢圓的中心到準線的距離的最小值______．

Answer 1

設橢圓的焦距為2c，同時可設

a2

c

=

1

t

，∴c=ta²
∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)恒過定點A（1，2），
∴

1

a2

+

4

b2

=1
∴b²+4a²=a²b²
∴5a²-c²=a²（a²-c²）
∴5a²-（ta²）²=a²[a²-（ta²）²]
∴t²a⁴-（t²+1）a²+5=0
∴△=（t²+1）²-20t²≥0時，方程有解
∴t2-2

5

t+1≥0
∴t≥

5

+2，或0＜t≤

5

-2
∴0＜

1

t

≤

5

-2，或

1

t

≥

5

+2
∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)恒過定點A（1，2），
∴橢圓的中心到準線x=

a2

c

＞1
∴橢圓的中心到準線的距離的最小值

5

+2
故答案為：

5

+2