Question

（本小題滿分14分）已知函數．

（1）求的單調區間與極大值；

（2）任取兩個不等的正數，且，若存在使成立，求證：；

（3）已知數列滿足，（n∈N+），求證：（為自然對數的底數）．

 

Answer 1

（1）g（x）的單調遞增區間是（-1，0），單調遞減區間是（0，+∞），g（x）的極大值是g（0）=0；（2）證明見解析；

（3）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）函數在某個區間內可導，則若，則在這個區間內單調遞增，若，則在這個區間內單調遞減；（2）求函數的極值的一般步驟：（1）確定函數的定義域；（2）求導數；（3）解方程，求出函數定義域內的所有根；（4）列表檢驗在的根左右兩側的符號，如果在附近的左側，右側，那么是極大值；如果在附近的左側，右側，那么是極小值；（3）利用導數方法證明不等式在區間上恒成立的基本方法是構造函數，然后根據函數的單調性，或者函數的最值證明函數，其中一個重要的技巧就是找到函數在什么地方可以等于零，這往往就是解決問題的一個突破口，觀察式子的特點，找到特點證明不等式．

試題解析：【解析】
（1）由已知有=，

于是．

故當x∈（-1，0）時，>0；當x∈（0，+∞）時，<0．

所以g（x）的單調遞增區間是（-1，0），單調遞減區間是（0，+∞），

g（x）的極大值是g（0）=0． 4分

（2）因為，所以=，于是

==

==，

令=t （t>1），，

因為，只需證明．

令，則，

∴ 在遞減，所以，

于是h（t）<0，即，故．

仿此可證，故． 10分

（3）因為，，所以單調遞增，≥1．

于是，

所以．（*）

由（1）知當x>0時，<x．

所以（*）式變為．

即（k∈N，k≥2），

令k=2，3， ， n，這n-1個式子相加得

=

=

，

即，所以． 14分

考點：1、利用導數求函數的單調區間和極值；2、證明不等式．