分析:(Ⅰ)由函數極值的定義,先求函數f(x)的導函數,由f'(-5)=f'(1)=0,可得關于m的方程,解出即可;
(Ⅱ)在(1)的條件下f'(x)=x2+4x-5=(x+5)(x-1),解不等式f'(x)>0,即可得函數f(x)的單調遞增區(qū)間.
解答:解:(Ⅰ)∵
f(x)=(2m-1)x3+2mx2-5m2x-1,
∴f'(x)=(2m-1)x
2+4mx-5m
2由題意,即
| 25(2m-1)-20m-5m2=0 | 2m-1+4m-5m2=0 |
| |
,
解得,m=1.
經驗證,當m=1時,f(x)的極值點是-5,1,所以m=1…6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)
f(x)=x3+2x2-5x-1,f'(x)=x
2+4x-5=(x+5)(x-1),
解不等式f'(x)>0得,x<-5或x>1,
∴y=f(x)的遞增區(qū)間是(-∞,-5],[1,+∞).…12分.
點評:本題綜合考查了導數在函數極值、單調性中的應用,解題時要認真體會導數在研究函數性質方面的積極作用,規(guī)范解題.