Question

【題目】設(shè)函數(shù)

（Ⅰ）當(dāng)（為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求的極小值；

（Ⅱ）若函數(shù)存在唯一零點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的極小值為2；（Ⅱ）當(dāng)或時，函數(shù)有且只有一個零點(diǎn).

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律，進(jìn)而確定極值（2）先化簡，再利用參變分離法得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)，由圖像可得存在唯一零點(diǎn)時的取值范圍

試題解析：（1）由題設(shè)，當(dāng)時， ，

則，由，得．

∴當(dāng)， ， 在上單調(diào)遞減，

當(dāng)， ， 在上單調(diào)遞增，

∴當(dāng)時， 取得極小值，

∴的極小值為2.

（2）由題設(shè)，

令，得．

設(shè)，則，

當(dāng)時， ， 在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時， ， 在上單調(diào)遞減．

∴是的唯一極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，因此也是的最大值點(diǎn)．

∴的最大值為．

又，結(jié)合的圖象（如圖），可知

當(dāng)時，函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)；

當(dāng)時，函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)．

所以，當(dāng)或時，函數(shù)有且只有一個零點(diǎn).