Question

【題目】如圖1，已知長方形ABCD中，AB=2，AD=1，E為DC的中點．將△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE．
（1）求證：平面BDE⊥平面ADE
（2）求三棱錐 C﹣BDE的體積

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BE，∵長方形ABCD中，AB=2，AD=1，

E為DC的中點，DE=1，∴AE=BE=

∴AE2+BE2=2=AB2，∴BE⊥AE．

∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE，BE平面ABCE

∴BE⊥平面ADE，又∵BE平面BDE，

∴平面BDE⊥平面ADE．

（2）解：取AE中點F，連結DF，

∵AD=DE，∴DF⊥AE，

又∵平面ADE⊥平面ABCE，且交線為AE，DF平面ADE，

∴DF⊥平面BCE

在Rt△ADE中，AD=DE=1，AE= ，∴DF= ，

∴

又∵VC﹣BED=VD﹣BCE，

∴三棱錐C﹣BDE的體積

【解析】（1）連接BE，推民出BE⊥AE，從而BE⊥平面ADE，由此能證明平面BDE⊥平面ADE．（2）取AE中點F，連結DF，由VC﹣BED=VD﹣BCE，能求出三棱錐C﹣BDE的體積．
【考點精析】通過靈活運用平面與平面垂直的判定，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直即可以解答此題．