Question

如圖,在長方體中,點在棱上.

（1）求異面直線與所成的角；

（2）若二面角的大小為,求點到平面的距離.

 

Answer 1

(1)；(2).

【解析】

試題分析：根據幾何體的特征，可有兩種思路，即“幾何法”和“向量法”.

思路一:(1)連結.由是正方形知.

根據三垂線定理得,即得異面直線與所成的角為.

(2)作,垂足為,連結,得.為二面角的平面角,.于是,根據,得,又,得到.

設點到平面的距離為,于求得.

思路二:分別以為軸,軸,軸,建立空間直角坐標系.

(1)由,得,

設,又,則.

計算得即得解.

(2)為面的法向量,設為面的法向量,

由,

得到.①

由,得,根據,即,

得到②

由①、②,可取,

點到平面的距離.

試題解析：解法一:(1)連結.由是正方形知.

∵平面,

∴是在平面內的射影.

根據三垂線定理得,

則異面直線與所成的角為. 5分

(2)作,垂足為,連結,則.

所以為二面角的平面角,.于是,

易得,所以,又,所以.

設點到平面的距離為,則由于即,

因此有,即,∴. .. 12分

解法二:如圖,分別以為軸,軸,軸,建立空間直角坐標系.

(1)由,得,

設,又,則.

∵∴,則異面直線與所成的角為. 5分

(2)為面的法向量,設為面的法向量,則

,

∴.①

由,得,則,即,∴②

由①、②,可取,又,

所以點到平面的距離. 12分

考點：異面直線所成的角，點到平面的距離.