Question

9．設定點A（0，1），常數m＞2，動點M（x，y），設$\overrightarrow p=（{x+m，y}）$，$\overrightarrow q=（{x-m，y}）$，且$|{\overrightarrow p}|-|{\overrightarrow q}|=4$．
（1）求動點M的軌跡方程；
（2）設直線L：$y=\frac{1}{2}x-3$與點M的軌跡交于B，C兩點，問是否存在實數m使得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\frac{9}{2}$？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據向量的表達式，可推斷出點M（x，y）到兩個定點F₁（-m，0），F₂（m，0）的距離之差4，根據雙曲線的定義判斷出其軌跡為雙曲線，進而根據c和a，求得b，則其方程可得．
（2）設將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根與系數的關系利用向量數量積的坐標公式即可求得m值，從而解決問題．

解答 解：（1）由題意，$\sqrt{（x+m）^{2}+{y}^{2}}$-$\sqrt{（x-m）^{2}+{y}^{2}}$=4＜2m，
∴動點M的軌跡是以（-m，0），（m，0）為焦點的雙曲線的右支，方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}-4}$=1（x≥2）；
（2）由直線L：$y=\frac{1}{2}x-3$與點M的軌跡方程，聯立可得（m²-5）x²+12x-36-4（m²-4）=0，
設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{12}{{m}^{2}-5}$，x₁x₂=$\frac{-4{m}^{2}-20}{{m}^{2}-5}$，
∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\frac{9}{2}$，
∴x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=$\frac{9}{2}$，
∴$\frac{5}{4}$x₁x₂-2（x₁+x₂）+16=$\frac{9}{2}$，
∴m²=9，m=±3，
∵m≥2，∴m=3
檢驗m=3時x₁+x₂=-3＜0，所以不存在m．

點評 本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法．