Question

15．已知△ABC中的內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，點D，E分別是AB，AC的中點，若2sinC=3sinB，則$\frac{BE}{CD}$的取值范圍是（$\frac{8}{7}$，4）．

Answer 1

分析 利用余弦定理把BE和CD表示出來，利用三角函數的有界性求解即可．

解答 解：點D，E分別是AB，AC的中點，2sinC=3sinB，得：b=$\frac{2}{3}c$，
余弦定理可得：CD²=b²+$\frac{{c}^{2}}{4}-bccosA$，
同理可得：BE²=c²+$\frac{{b}^{2}}{4}-bccosA$，
那么：$\frac{B{E}^{2}}{C{D}^{2}}=\frac{{c}^{2}+\frac{1}{4}×\frac{4}{9}{c}^{2}-\frac{2}{3}{c}^{2}cosA}{\frac{4}{9}{c}^{2}+\frac{1}{4}{c}^{2}-\frac{2}{3}{c}^{2}cosA}$=$\frac{24cosA-40}{24cosA-25}$=1-$\frac{15}{24cosA-25}$．
∵0＜A＜π，
∴-49＜24cosA-25＜-1，
∴$\frac{64}{49}＜\frac{B{E}^{2}}{C{D}^{2}}＜16$，
∴$\frac{BE}{CD}$的取值范圍是（$\frac{8}{7}$，4）．
故答案為（$\frac{8}{7}$，4）．

點評 本題考查余弦定理的運用能力和計算能力，利用三角函數的有界限求范圍，計算量大，屬于中檔題．