Question

5．若等比數列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=a-（$\frac{1}{2}$）^n-1，則直線（a-1）x-y+3=0與圓（x-a）²+y²=12的位置關系為（　　）

• A． 相離
• B． 相切
• C． 相交
• D． 無法確定

Answer 1

分析 由數列的遞推式：當n=1時，a₁=S₁，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，可得a=2，再求圓心和半徑，求得圓心到直線的距離，與半徑比較即可得到位置關系．

解答 解：等比數列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=a-（$\frac{1}{2}$）^n-1，
當n=1時，a₁=S₁=a-1，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=a-（$\frac{1}{2}$）^n-1-a+（$\frac{1}{2}$）^n-2
=（$\frac{1}{2}$）^n-1，
上式對n=1也成立，可得a-1=1，即a=2，
則直線（a-1）x-y+3=0與圓（x-a）²+y²=12，
即直線為x-y+3=0，
圓的方程為（x-2）²+y²=12，圓心為（2，0），半徑為2$\sqrt{3}$，
由圓心到直線的距離d=$\frac{|2-0+3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$＞2$\sqrt{3}$，
可得直線和圓相離．
故選：A．

點評 本題考查等比數列的求和公式和通項公式，注意運用當n=1時，a₁=S₁，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1的結論，考查直線和圓的位置關系，注意運用圓心到直線的距離與半徑的關系，考查化簡整理運算能力，屬于中檔題．