Question

如圖，平面ABCD⊥平面ABE，四邊形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，BC=

1

2

AD=1，△ABE是等腰直角三角形，EA=EB=2，F，H分別是DE，AB的中點．
（1）求證：CF∥平面ABE
（2）求三棱錐F-DCH的體積．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）取DH中點M，連接BM、FM．證明四邊形FMBC是平行四邊形，通過直線與平面平行的判定定理證明FC∥平面ABE．
（2）取DH中點N，連接FN、EH，證明EH⊥平面ABCD，推出

S△DCH=S梯形ABCD-S△ADH-S△BCH

，求出面積與高，即可求解體積．

解答： （1）證明：如圖1，取DH中點M，連接BM、FM．
∵F是DE中點，∴FM是△ADE的中位線，
∴FM∥AD，且MF=

1

2

AD，
又BC∥AD，且BC=

1

2

AD，∴FM∥BC且FM=BC，
∴四邊形FMBC是平行四邊形，∴FC∥MB．
∵FC?面ABE，MB?面ABE，∴FC∥平面ABE．-------（6分）
（2）取DH中點N，連接FN、EH，
∵F是DE的中點，∴FN∥EH，且FN=

1

2

EH．
∵△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，M是AB的中點，∴EH⊥AB
又平面ABCD⊥平面ABE，
平面ABCD∩平面ABE=AB，EH?平面ABCD，∴EH⊥平面ABCD，
∴FN⊥平面ABCD

S△DCH=S梯形ABCD-S△ADH-S△BCH

=

1

2

×(1+2)×2

2

-

1

2

×2×

2

-

1

2

×1×

2

=

3 2

2

．
又FN=

1

2

EH=

2

2

．
∴VF-DCH=

1

3

S△DCH•FN=

1

3

×

3 2

2

×

2

2

=

1

2

-----------------（12分）

點評：本題考查直線與平面培訓的判定定理以及幾何體的體積的求法，考查計算能力．