Question

已知a、b、c為△ABC的三個內角A、B、C的對邊，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，則△ABC面積的最大值為

 

．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：由題設得（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，再由正弦定理可得：（a+b）（a-b）=（c-b）c，化為c²+b²-a²=bc．再利用余弦定理可求A，利用基本不等式的性質與三角形的面積的計算公式即可得出．

解答： 解：∵a=2，∴（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，即為（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，
（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a-b）=（c-b）c，化為c²+b²-a²=bc．
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

．
由c²+b²-a²=bc≥2bc-4．
可得bc≤4．當且僅當b=c=2時取等號．
∴△ABC面積=

1

2

bcsinA≤

1

2

×4×sin

π

3

=

3

．
∴△ABC面積的最大值為

3

．
故答案為：

3

．

點評：本題考查了正弦定理余弦定理、三角形的面積計算公式、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．