Question

在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知

2cosC-cosA

cosB

=

a-2c

b

．
（1）求

c

a

的值；
（2）若cosB=

2

3

，△ABC面積為

5

6

，求b的值．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由正弦定理，三角形內角和定理及誘導公式化簡可得2sinA=sinC，從而由正弦定理可得解．
（2）根據同角三角函數關系式可求sinB，由c=2a，S_△ABC=

1

2

acsinB，可解得a²，由余弦定理b²=a²+c²-2accosB即可得解．

解答： 解：（1）∵由正弦定理可得：

2cosC-cosA

cosB

=

a-2c

b

=

sinA-2sinC

sinB

，
∴可得：2cosCsinB-cosAsinB=sinAcosB-2sinCcosB，
∴解得：2sin（B+C）=sin（A+B），即有2sinA=sinC，
∴由正弦定理可得：

sinC

sinA

=

c

a

=2．
（2）∵cosB=

2

3

，
∴sinB=

1-cos2B

=

5

3

，
∵由（1）可得，c=2a，S_△ABC=

1

2

acsinB，
∴可得：

5

6

=

1

2

×a×2a×

5

3

，解得：a²=

1

2

，
∵又由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=a²+4a²-

8a2

3

=

7

3

a2=

7

3

×

1

2

=

7

6

，
∴解得：b=

42

6

．

點評：本題主要考查了解三角形，重點在于余弦定理及三角形面積公式的應用，同時考查了同角三角函數關系式，屬于基本知識的考查．