Question

5．如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分別是CC₁，AD的中點，那么異面直線D₁E和A₁F所成角的余弦值等于$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 以D為原點建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2．則A₁（2，0，2），F）1，0，0），D₁（0，0，2），E（0，2，1），則$\overrightarrow{{A}_{1}F}=（-1，0，-2）$，$\overrightarrow{{D}_{1}E}=（0，-2，-1）$，$cos＜\overrightarrow{{D}_{1}E}，\overrightarrow{{A}_{1}F}＞$=$\frac{\overrightarrow{{D}_{1}E}•\overrightarrow{{A}_{1}F}}{|\overrightarrow{{D}_{1}E}||\overrightarrow{{A}_{1}F}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{2}{5}$．

解答 解：如圖，以D為原點建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2．
則A₁（2，0，2），F）1，0，0），D₁（0，0，2），E（0，2，1）
則$\overrightarrow{{A}_{1}F}=（-1，0，-2）$，$\overrightarrow{{D}_{1}E}=（0，-2，-1）$，
$cos＜\overrightarrow{{D}_{1}E}，\overrightarrow{{A}_{1}F}＞$=$\frac{\overrightarrow{{D}_{1}E}•\overrightarrow{{A}_{1}F}}{|\overrightarrow{{D}_{1}E}||\overrightarrow{{A}_{1}F}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{2}{5}$，
∴異面直線D₁E和A₁F所成角的余弦值等于$\frac{2}{5}$，
故答案為：$\frac{2}{5}$．

點評 本題考查了向量法求異面直線夾角，屬于中檔題．