Question

16．在平面直角坐標系xOy中，將圓O：x²+y²=4上每一個點的橫坐標不變，縱坐標變為原來的$\frac{1}{2}$，得到曲線C．
（1）求曲線C的參數方程；
（2）以坐標原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，在兩坐標系中取相同的單位長度，射線θ=α（ρ≥0）與圓O和曲線C分別交于點A，B，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）圓的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數），曲線C的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數）
（2）曲線C的極坐標方程為極坐標方程ρ=$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}θ}}$，令θ=α，則極坐標系中A$（\frac{2}{{\sqrt{1+3{{sin}^2}α}}}，α）$，B（$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}α}}$，π+α），則|AB|=2×$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}α}}$，即可求解．

解答 解：（1）圓的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數）
根據題意，曲線C的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數）
（2）曲線C的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數）⇒$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$
⇒$\frac{{ρ}^{2}co{s}^{2}θ}{4}+{ρ}^{2}si{n}^{2}θ=1$⇒極坐標方程ρ=$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}θ}}$
 令θ=α，則極坐標系中A$（\frac{2}{{\sqrt{1+3{{sin}^2}α}}}，α）$，B（$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}α}}$，π+α）
則|AB|=2×$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}α}}$，
當α=0時，|AB|取最大值為4．

點評 本題考查了圓、橢圓的參數方程，橢圓的極坐標方程，解題關鍵是弄清極徑的含義，屬于中檔題．