Question

14．已知[x）表示大于x的最小整數，例如[3）=4，[-1，3）=-1，下列命題中正確的是（　�。�
①函數f（x）=[x）-x的值域是（0，1]
②若{a_n}是等差數列，則{[a_n）}也是等差數列
③若{a_n}是等比數列，則{[a_n）}也是等比數列
④若x∈（1，2017），則方程[x）-x=sin$\frac{π}{2}$x有1007個根．

• A． ②
• B． ③④
• C． ①
• D． ①④

Answer 1

分析 根據定義一一加以判斷：對①考慮當x為整數和不為整數；對②可取特殊數列比如整數等差數列和非整數等差數列加以檢驗；對③也取特殊數列驗證；對④因為x∈（1，2017），函數f（x）=[x）-x=sin$\frac{π}{2}$x的周期T=4，在（1，5]內有兩個根，一個根x∈（4，5），另一個根x=5．即可得出．

解答 解：對①，當x為整數時，[x）=x+1，即[x）-x=1，當x不為整數時，0＜[x）-x＜1，所以函數f（x）=[x）-x的 值域是（0，1]即①對；
 對②，當數列{a_n}是整數構成的等差數列，則數列{[a_n）}也是等差數列；當{a_n}不是整數構成的等差數列，則數列{[a_n）}不是等差數列．
例如：數列{a_n}：0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1.0，1.1；那么數列
{[a_n）}：1，1，1，1，1，1，2，2顯然不是等差數列．故②錯；
對③，可取等比數列{a_n}：1，2，4，8，16；則數列{[a_n）}為：2，3，5，9，17顯然不是等比數列，故③錯；
對④，因為x∈（1，2017），函數f（x）=[x）-x=sin$\frac{π}{2}$x的周期T=4，在（1，5]內有兩個根，一個根x∈（4，5），另一個根x=5．因此方程[x）-x=sin$\frac{π}{2}$x在區間（1，2017）內共有504×2-1=1007個根．
故④對．
故選：D．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其性質、函數的性質、函數與方程的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．