Question

6．若實數a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=1，則當$\frac{2a+b}{4}$的最小值為m時，不等式m^|x-1|-|x+2|＜1解集為$（-\frac{1}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 利用基本不等式求出m，利用指數函數的單調性轉化不等式，即可得出結論．

解答 解：∵實數a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=1，
∴$\frac{2a+b}{4}$=$\frac{2a+b}{4}$（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）=$\frac{1}{4}$（4+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$）≥2，
∴m=2．
不等式m^|x-1|-|x+2|＜1等價于|x-1|-|x+2|＜0，
∴2x+1＞0，
∴x＞-$\frac{1}{2}$
∴不等式m^|x-1|-|x+2|＜1解集為$（-\frac{1}{2}，+∞）$．
故答案為$（-\frac{1}{2}，+∞）$．

點評 本題考查基本不等式的運用，考查學生解不等式的能力，正確轉化是關鍵．