Question

15．設a，b∈R且a＜b，若a³e^b=b³e^a，則下列結論中一定正確的個數是（　　）
①a+b＞6；②ab＜9；③a+2b＞9；④a＜3＜b．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 令f（x）=$\frac{{x}^{3}}{{e}^{x}}$，可得f′（x）=$\frac{（3-x）{x}^{2}}{{e}^{x}}$，利用導數研究函數的單調性極值與最值、圖象及其性質即可得出．

解答 解：令f（x）=$\frac{{x}^{3}}{{e}^{x}}$，則f′（x）=$\frac{（3-x）{x}^{2}}{{e}^{x}}$，
可知：x＞3時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；
x＞3時，f′（x）≥0，
函數f（x）單調遞增．
x=3時，函數f（x）取得極大值即最大值．
∵f（a）=f（b），a＜b．
∴0＜a＜3＜b，a+b＞6；ab＜9；a+2b＞9．
因此正確的答案為4個．
故選：D．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、圖象及其性質、數形結合方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．