Question

20．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F，離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為4．則該橢圓的標準方程是$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$．

Answer 1

分析 由題意，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2{b}^{2}}{a}$=4，a²=b²+c²，由此能求出橢圓的方程．

解答 解：由題意得，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2{b}^{2}}{a}$=4，a²=b²+c²，
∴a=4，b=2$\sqrt{2}$，
∴橢圓C的方程為 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$；
故答案是：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，是基礎題，解題時要注意橢圓的簡單性質的合理運用．