Question

8．已知函數f（x）=msinx+ncosx，且$f（\frac{π}{4}）$是它的最大值（其中m，n為常數，且mn≠0），給出下列命題：
①$f（x+\frac{π}{4}）$為偶函數                  
②函數f（x）的圖象關于點$（\frac{7π}{4}，0）$對稱
③$f（-\frac{3π}{4}）$是函數f（x）的最小值       
④函數f（x）的圖象在y軸右側與直線$y=\frac{m}{2}$的交點按橫坐標從小到大依次記為P₁，P₂，P₃，P₄，…，則|P₂P₄|=π；
則正確的命題個數為（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 由題意可得f（x）=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$ sin（x+$\frac{π}{4}$），對于①，由于 f（x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$cosx，是偶函數，故①正確．
對于②，由于當x=$\frac{7π}{4}$時，f（x）=0，故②正確．
對于③，由于 f（-$\frac{3π}{4}$）=-$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，是 函數f（x）的最小值，故③正確．
對于④，由題意可得，|P₂P₄|等于一個周期2π，故 ④不正確．

解答 解：由于函數f（x）=msinx+ncosx=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$ sin（x+∅），且f（$\frac{π}{4}$）是它的最大值，
∴$\frac{π}{4}$+∅=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，∴∅=2kπ+$\frac{π}{4}$，∴tan∅=$\frac{n}{m}$=1．
∴f（x）=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$ sin（x+2kπ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$ sin（x+$\frac{π}{4}$ ）．
對于①，由于 f（x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$ sin（x+$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$cosx，是偶函數，故①正確．
對于②，由于當x=$\frac{7π}{4}$時，f（x）=0，故函數f（x）的圖象關于點（$\frac{7π}{4}$，0）對稱，故②正確．
對于③，由于  f（-$\frac{3π}{4}$）=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$ sin（-$\frac{π}{2}$ ）=-$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，是 函數f（x）的最小值，故 ③正確．
對于④，函數f（x）的圖象即把函數 y=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$sinx的圖象向左平移$\frac{π}{4}$ 個單位得到的，故|P₂P₄|等于一個周期2π，故 ④不正確．
故選：C．

點評 本題考查兩角和正弦公式，正弦函數的最值，對稱性，奇偶性，函數圖象的變換，得到 f（x）=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$sin（x+$\frac{π}{4}$ ），是解題的關鍵，屬于中檔題．