Question

16．若函數$f（x）=\frac{2}{3}{x^3}-2{x^2}+ax+10$在區間[-1，4]上單調遞減，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-16]∪[2，+∞）
• B． （-16，2）
• C． [2，+∞）
• D． （-∞，-16]

Answer 1

分析 求函數的導數，利用函數的單調性和導數之間的關系進行求解即可．

解答 解：函數的導數f′（x）=2x²-4x+a，
∵f（x）在[-1，4]遞減，
∴f′（x）=2x²-4x+a≤0在[-1，4]恒成立，
即a≤-2x²+4x在[-1，4]恒成立，
令g（x）=-2x²+4x，x∈[-1，4]，
則g′（x）=-4x+4=-4（x-1），
令g′（x）＞0，解得：-1≤x＜1，
令g′（x）＜0，解得：1＜x≤4，
故函數g（x）在[-1，1）遞增，在（1，4]遞減，
而g（-1）=-6，g（1）=2，g（4）=-16，
故g（x）的最小值是-16，
故a≤-16，
故選：D．

點評 本題主要考查函數單調性和導數之間的關系，比較基礎．