Question

4．對于函數f（x）=x圖象上的任一點M，在函數g（x）=lnx上都存在點N（x₀，y₀），使以線段MN為直徑的圓都經過坐標原點O，則x₀必然在下面哪個區(qū)間內？（　　）

• A． （$\frac{1}{{e}^{3}}$，$\frac{1}{{e}^{2}}$）
• B． （$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{e}$）
• C． （$\frac{1}{e}$，$\frac{1}{2}$）
• D． （$\frac{1}{2}$，1）

Answer 1

分析 以線段MN為直徑的圓都經過坐標原點O，可得xx₀+xlnx₀=0，構造g（x）=x+lnx，可得g（$\frac{1}{2}$）＜0，g（1）＞0，即可得出結論．

解答 解：設M（x，x），則
∵以線段MN為直徑的圓都經過坐標原點O，
∴xx₀+xlnx₀=0，
∴x₀+lnx₀=0，
構造g（x）=x+lnx，可得g（$\frac{1}{2}$）＜0，g（1）＞0，
∴x₀∈（$\frac{1}{2}$，1），
故選D．

點評 本題考查函數的性質，考查函數的零點，考查學生的計算能力，屬于中檔題．