Question

16．已知函數f（x）=$\sqrt{3}$sin xcos x-$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求函數f（x）的最大值和最小值及相應的x的值．

Answer 1

分析 （1）化簡f（x），根據T=$\frac{2π}{ω}$=π，求出函數的最小正周期，解不等式求出函數的遞增區間即可；
（2）根據x的范圍，求出2x-$\frac{π}{6}$的范圍，從而求出函數的最大值和最小值．

解答 解：（1）因為f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin 2x-$\frac{1}{2}$cos 2x-$\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
所以T=$\frac{2π}{ω}$=π，
故f（x）的最小正周期為π，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
故函數f（x）的單調遞增區間為（kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$），k∈Z；
（2）因為0≤x≤$\frac{π}{2}$，所以-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
所以當2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$時，f（x）有最大值$\frac{1}{2}$；
當2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$，即x=0時，f（x）有最小值-1．

點評 本題考查了三角函數的周期和單調性，考查函數的最值問題，是一道中檔題．