Question

某觀測站C在目標A的南偏西25°方向，從A出發有一條南偏東35°走向的公路，在C處測得與C相距31km的公路有一人正沿此公路向A走去，走20km到達D，此時測得CD=21km，求此人在D處距A還有多少千米．

Answer 1

分析：由圖形求出∠CAD的度數，以及BC，BD及CD的長，利用余弦定理求出cosB的值，再利用同角三角函數間的基本關系求出sinB的值，由sinA，sinB及BC的長，利用正弦定理求出AC的長，由BC，AC及cosA的值，利用余弦定理求出AB的長，由AB-BD即可求出AD的長．

解答：解：如圖，易知∠CAD=25°+35°=60°，BC=31，BD=20，CD=21，
由余弦定理得：cosB=

BC2+BD2-CD2

2BC•BD

=

312+202-212

2×31×20

=

23

31

，
∴sinB=

1-cos2B

=

12 3

31

，
又在△ABC中，由正弦定理得：AC=

BCsinB

sinA

=

31× 12 3 31

3 2

=24，
由余弦定理得BC²=AC²+AB²-2AC•ABcosA，即31²=AB²+24²-2×AB×24cos60°，
∴AB²-24AB-385=0，
解得：AB=35或AB=-11（舍去），
∴AD=AB-BD=35-20=15（km）．

點評：此題考查了余弦定理，正弦定理，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握正弦、余弦定理的解本題的關鍵．